シラバス情報
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教員名 ： 立井 博子
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開講年度
2025年度
開講学期
後期
科目名
複素関数論
授業種別
講義
科目名（英語）
Elementary Complex Functions
授業情報(授業コード・クラス・授業形態)
A0600034 複素関数論 [S4][対面]
担当教員
立井 博子
単位数
2.0単位
曜日時限
月曜2限
キャンパス
八王子
教室
15-202講義室
学位授与の方針
1 基礎知識の修得 10 ％
2 専門分野の知識・専門技術の修得 80 ％ 3 汎用的問題解決力の修得 10 ％ 4 道徳的態度と社会性の修得 0 ％ 具体的な到達目標
複素数の演算，複素数の極座標表示ができる。
オイラーの公式とその応用ができる。 複素平面と複素数による回転の表現ができる。 2階の微分方程式の複素解の意味と物理的対応等を理解できる。 受講にあたっての前提条件
微分，積分，線形代数１，線形代数２を履修し合格しておくことが望ましい。
授業の方法とねらい
（授業の方法）授業時に授業資料が電子的に配布されます。これにもとづいて学習します。その後，演習問題、ホームワークがありますので，指定した時間までに解いて提出します。その後，解答例を示しますので，間違えたところを修正し，理解不足なのかケアレスミスかを「気づく」ことができます。
学習履歴は手元に残りますので，3回行われる試験に備えてください。 （ねらい）初めに2次元のベクトルを元に，類似性から複素数でも同様に2次元場の表現が可能なことを学びます。また，ベクトル演算と複素数演算を対比させ複素数の特徴，種々の計算方法等を学びます。複素平面と極座標の対応も把握します。マクローリン展開からオイラーの公式を導出し，複素指数関数で回転現象を記述出来ることを学びます。更に物理モデルによく出てくる2階の微分方程式の解が複素指数関数で与えられ，それが振動等に対応することも学びます。 AL・ICT活用
e-ラーニング等ICTを活用した自主学習支援／その他
第1回
授業形態
対面
事前学習
Web資料をもとに三角比と三角関数について予習しておく。
2時間
授業内容
【ガイダンス】授業の進め方と学修の方法 学習内容，他の科⽬との関連付け等
【ベクトルと三角関数】 複素関数と類似性の⾼い2次元ベクトル 2次元ベクトルの絶対値と偏角 3次元ベクトルの絶対値と代表角 2次元ベクトルの「絶対値と単位ベクトルの積」表現 2次元ベクトルと複素数の類似点 複素数の絶対値と偏角 事後学習・事前学習
2次元ベクトル，3次元ベクトルついて演習およびホームワークで復習しておく。
2次方程式の解の公式，2次方程式の判別式について予習しておく。 2時間
第2回
授業形態
対面
授業内容
【複素数】 2次方程式の根と複素平面の関係を学ぶ。ベクトルの和/差と複素数の和/差と対比して複素数の和/差を学ぶ。ベクトルの絶対値と偏角と対比して絶対値と偏角を学ぶ。さらにベクトルの内積と対比して複素数の積を学ぶ。複素数特有の共役複素数について学ぶ。
事後学習・事前学習
ベクトルの演算・絶対値・偏角，複素数の演算・絶対値・偏角ついて演習およびホームワークで復習しておく。
和と差の積，分母の実数化について予習しておく。 4時間
第3回
授業形態
対面
授業内容
【複素数】 複素数の四則計算について学ぶ。その際必要な共役複素数の性質を知り，分数計算においては分母の実数化を学ぶ。共役複素数と複素数の絶対値の関係を学ぶ。
事後学習・事前学習
複素数の四則計算，共役複素数，分母の実数化，共役複素数と複素数の絶対値ついて演習およびホームワークで復習しておく。
対数，対数の性質について予習しておく。 4時間
第4回
授業形態
対面
授業内容
【対数】 複素指数関数を導入する準備として，実指数関数の定義，性質，微分について確認する。同時に指数関数と関係の深い対数の定義，性質について確認する。
常用対数と自然対数についても学ぶ。 事後学習・事前学習
対数の定義，対数の性質，常用対数，自然対数ついて演習およびホームワークで復習しておく。
ここまでの4回分の内容を復習し確認試験に備える。 4時間
第5回
授業形態
対面
授業内容
【ベクトルと三角関数】【複素数】【対数】に関する学修到達度の確認（授業内試験）
事後学習・事前学習
公開された解答例，採点結果を吟味し，理解不足やミスの原因などを考察し，今後に生かせるようにする。
微分の意味，合成関数の微分について予習しておく。 4時間
第6回
授業形態
対面
授業内容
【対数】 eの指数関数と関係の深い自然対数と自然対数関数について学ぶ。指数関数の性質，指数関数・対数関数の微分について学び，今後の微分方程式につなげる。
事後学習・事前学習
指数関数の性質，指数関数・対数関数の微分ついて演習およびホームワークで復習しておく。
連立方程式の検算方法について予習しておく。 4時間
第7回
授業形態
対面
授業内容
【微分方程式】 1階(斉次)微分方程式について学ぶ。（1 階(斉次)微分方程式の解法，1 階微分方程式の解の性質（特殊解と一般解）を含む。さらに解が微分方程式を満たすことを確認する方法も含む。） 2階(斉次)微分方程式(特性解が実数)について学ぶ。（2階微分方程式の解法 2階微分方程式の解の性質（特殊解と一般解）を含む。さらに解が微分方程式を満たすことを確認する方法も含む。）
事後学習・事前学習
1階(斉次)微分方程式の解法，2階微分方程式(特性解が実数)の解法ついて演習およびホームワークで復習しておく。
2階(斉次)微分方程式(特性解が虚数)の解法について予習しておく。 5時間
第8回
授業形態
対面
授業内容
【微分方程式】 2階(斉次)微分方程式(特性解が虚数)について学ぶ。（2階微分方程式の解法，2階微分方程式の解の性質（特殊解と一般解）を含む。さらに解が微分方程式を満たすことを確認する方法も含む。） オイラーの公式を用いて複素指数関数表現の解を三角関数で表現できることを学ぶ。
事後学習・事前学習
2階(斉次)微分方程式(特性解が虚数)の解法ついて演習およびホームワークで復習しておく。
マクローリン展開について予習しておく。 5時間
第9回
授業形態
対面
授業内容
【マクローリン展開】 三角関数・指数関数のマクローリン展開について学ぶ。 【オイラーの公式】 2階方程式の指数関数の解を三角関数の解に変換したときに使用したオイラーの公式を，マクローリン展開で確認する。
事後学習・事前学習
マクローリン展開，オイラーの公式ついて演習およびホームワークで復習しておく。
ここまでの4回分の内容を復習し確認試験に備える。 4時間
第10回
授業形態
対面
授業内容
【対数】【微分方程式】【マクローリン展開】【オイラーの公式】に関する習熟度確認試験
事後学習・事前学習
公開された解答例，採点結果を吟味し，理解不足やミスの原因などを考察し，今後に生かせるようにする。
複素数の絶対値と偏角 実指数関数の性質について予習しておく。 4時間
第11回
授業形態
対面
授業内容
【複素数の複素指数関数による表現】 ベクトルの絶対値と偏角，複素数の絶対値と偏角，複素数の複素指数関数による表現（極形式表現），複素指数関数の性質を確認する。 【複素指数関数による複素平面上での回転の表現】 複素数の偏角の一般的な表現，偏角が等しい2つの複素数の和，2つの複素数の積による回転の表現について学ぶ。
事後学習・事前学習
複素指数関数の性質，2つの複素数の積による回転の表現ついて演習およびホームワークで復習しておく。
三角関数のグラフについて予習しておく。 5時間
第12回
授業形態
対面
授業内容
【複素指数関数による定速度回転の表わし方】 複素指数関数の積による回転の表現，一定の速度で回転する点の複素指数関数による表現，複素指数関数による回転表現と実振動関数の関係を学ぶ。このことにより，モータなどの回転が複素指数関数で表されることを理解する。
事後学習・事前学習
一定の速度で回転する点の複素指数関数による表現，複素指数関数による回転表現と実振動関数の関係ついて演習およびホームワークで復習しておく。
ニュートンの運動方程式について予習しておく。 5時間
第13回
授業形態
対面
授業内容
【複素指数関数の応用】 ニュートンの運動方程式を使って振り子の運動を解析する。振り子の具体的な例を解析し，実感と一致することを確かめる。ばね−質量系の解析でも同様な手順が使えることを解説する。
事後学習・事前学習
振り子の解析，振り子の具体的な例ついて演習およびホームワークで復習しておく。ここまでの3回分の内容を復習し確認試験に備える。
5時間
第14回
授業形態
遠隔（オンデマンド）
授業内容
【発展】マクローリン展開を自分で確認する。微分方程式を整級数展開で解き，微分方程式の解を指数関数と仮定したことの正当性を確かめる。
事後学習・事前学習
提出課題を演習主ることにより，マクローリン展開を復習し，また微分方程式の解法を復習しておく。
4時間
第15回
授業形態
対面
授業内容
【複素数の複素指数関数による表現】【複素指数関数による複素平面上での回転の表現】【複素指数関数による定速度回転の表わし方】【複素指数関数の応用】に関する習熟度確認試験
事後学習
公開された解答例，採点結果を吟味し，理解不足やミスの原因などを考察し，今後に生かせるようにする。
2時間
成績評価の方法
3回の学修到達度確認試験（授業内試験）点数を各々1/3の合計で試験点とします。毎回授業の最後に行う演習と翌授業日授業前までに提出するホームワークを課題点とします。
試験点と課題提出点とを7:3の割合で合計して評価します。 評価60点以上を合格(GPA Grade D以上)の目安とします。 受講生へのフィードバック方法
授業の度に課す演習，ホームワークは解答例を公開し，各自自己採点できるようにし，採点結果を提出するようにします。
学修到達度確認試験（授業内試験）では解答例を公開するとともに，学生ごとに答案返却及び，誤答に対するコメントを戻します。 教科書
Webテキストを使います。各自事前に印刷して授業に持参してもよいし，授業中にWebブラウザで参照してもよいでしょう。
皆さんからの質問や意見などにより細かな説明を増やして更新されます。 参考書
神保道夫、“複素関数⼊⾨”、岩波書店
⼩野寺嘉孝、“なっとくする複素関数”、講談社 今吉洋⼀、“複素関数概説”、サイエンス社 など オフィスアワー
授業後、教場で。
受講生へのメッセージ
分からない点は遠慮なく、積極的に質問して下さい。
実務家担当科目
実務家担当科目ではない
実務経験の内容
教職課程認定該当学科
該当なし
その他の資格・認定プログラムとの関連
関連する科目でない
教育課程コード
Ⅱ1b/Ⅱ2c/Ⅲ3c/B3c
教育課程コードの見方【例】 Ⅰ2a（Ⅰ…Ⅰ群、2…2年配当、a…必修） ※ a : 必修 b : 選択必修 c : 選択 ※複数コードが表示されている場合には入学年度・所属学科の学生便覧を参照のこと
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