2025年度

後期

常微分方程式特論

講義

Theory of Ordinary Differential Equations

Z1000009 常微分方程式特論 [遠隔(オ)]

長谷川 研二

2.0単位

月曜1限

新宿　遠隔

A 専攻する研究領域における高度な専門知識を身につけたもの 100%
B 科学技術を運用する能力を身につけたもの　0%
C 主体的に研究に取り組み、社会や職業についての知識や技術者や研究者として必要な倫理観を身につけたもの　0%
D 特定の専門領域における創成能力を身につけたもの　0%

工学や情報学のモデルを微分方程式で表現して、その解を求めたり性質を調べることは数学的な興味だけではなく工学や情報学の研究にとっても極めて重要なことである。１変数の微分方程式（常微分方程式）は学部生のとき一部の学科で習っているが、２階以上の常微分方程式は線形のみである。常微分方程式は２階以上でも連立１階に帰着できる特徴があり、本科目は学部で習う微分方程式に触れた後、線形代数の応用である線形１階連立（線形系）と求積法が適用できない非線形の常微分方程式の解析方法（数値計算でない）まで解説していきたい。到達目標は
（１）線形代数の応用として連立１階の線形微分方程式が解ける。
（２）非線形微分方程式の安定性を判定できる。
（３）非線形微分方程式の極限閉軌道の存在が調べられる。

学部で習う微分積分、線形代数を理解している必要がある。
複素関数としての指数関数を理解していることが望ましい。
微分方程式特論の単位を取得したものは履修できません。

e-ラーニング等ICTを活用した自主学習支援

1.  ガイダンス
2.  １階微分方程式（変数分離形、同次形）
3.  １階線形微分方程式と定数係数線形微分方程式
4.  基本解とロンスキアン
5.  線形系と行列指数関数
6.  行列の対角化による行列指数関数の計算
7.  ジョルダン標準形による行列指数関数の計算
8.  固有値が複素数の場合の行列指数関数の計算
9.  斉次線形系の基本解と非斉次線形系
10. 自励系の平衡点と解軌道
11. ２次元斉次線形系の相図
12. ヤコビ行列と双曲型平衡点
13. 双曲型平衡点における漸近安定性と不安定性
14. リアプノフ関数
15. リエナールの方程式と極限閉軌道
スライドを視聴してから期日までに小テストの解答を提出してもらう。学期末にレポート課題を提示する。

KU-LMSによる小テストとレポートを３：２の割合で成績評価する。 なお授業資料を参照しない、あるいは他の受講生の解答や生成AIによる解答を模写したか模写させたと思われる小テストとレポートの解答は無効とする。

小テストの正解はKU-LMSで開示する。
オフィアワーの他にGoogle Meetで質問や意見に応える。日時はメールで相談する。

「理工系のための微分方程式」牧野・長谷川・高木 著　培風館

「常微分方程式」クライツィグ 著 培風館
「応用微分方程式講義」野原 勉 著　東京大学出版会
「力学系入門」Hirsh,Smale,Devaney 著　共立出版

火曜日13:00〜14:00（八王子1E-313数学研究室)

オンデマンドの遠隔授業であるが、指導方法として対面より有効的であると判断して選んだ。担当者が変わらない限り、授業形態を維持していくつもりである。

実務家担当科目ではない

電気・電子工学専攻／情報学専攻