CG数学 [J2][対面] ｜シラバス情報

開講年度

2025年度

開講学期

後期

科目名

CG数学

授業種別

講義

科目名（英語）

Basic mathematics for Computer Graphics

授業情報(授業コード・クラス・授業形態)

A0300005 CG数学 [J2][対面]

担当教員

小早川健

単位数

2.0単位

曜日時限

月曜2限

キャンパス

八王子

教室

15-101講義室

学位授与の方針

1 基礎知識の修得 100 ％
2 専門分野の知識・専門技術の修得 0 ％
3 汎用的問題解決力の修得 0 ％
4 道徳的態度と社会性の修得 0 ％

具体的な到達目標

（１）３次元コンピューターグラフィックスの基礎となる線形代数を理解する。
（２）座標と座標系による考え方を学び、線形変換・アフィン変換に基づく座標変換を理解する。
（３）３次元空間から２次元平面への投影を行うための投影変換を理解する。
（４）３次元空間におけるベクトルに関して、外積を含むベクトル演算を理解する。

受講にあたっての前提条件

線形代数学を履修していること。行列の四則演算や逆行列の求め方など、線形代数の基礎を理解していることが望ましい。

授業の方法とねらい

2次元，または３次元コンピュータグラフィックスの学習に必要な線形代数を学びます．本講義と関連する「コンピュータグラフィックス」などの科目が受講できる知識を得ることが目的です．
座標の変換やベクトルどうしの積（外積）といった基本を身につける授業で，対面講義が中心となります．
冒頭15分ほどを前回演習の復習，50分程度を講義，終わりの25分程度を演習に割り当てることとします．
演習は必ず自力で解き，計算結果をKU-LMSにアップしてください．時間内に演習が解けない場合は翌週までの宿題とします．

AL・ICT活用

e-ラーニング等ICTを活用した自主学習支援

第1回

授業形態

対面

事前学習

本講義では，線形代数学1〜4を理解していることが望ましい．
第1回目の授業では，高校数学と線形代数の基礎について理解度確認テストを行う（成績や評価とは関係ない）．
学生のみなさんの授業開始時点での到達度をはかるものなので，以後の授業の参考にすること．
なお，行列の四則演算や逆行列の求め方などについて，事前に復習しておくことが望ましい．

3時間

授業内容

講義概要と理解度確認テスト

講義の概要と本講義での到達目標を説明する(30分程度)．
また，高校数学および線形代数1〜4の理解度をはかるため，理解度確認テストを行う(60分程度)．
理解度確認テストの結果をもとに，第2〜3回目での線形代数の復習を行う．

事後学習・事前学習

事前学習として，「線形代数」受講時の教科書を復習しておくこと．
理解度確認テストは成績には反映しないが，以後の授業の進め方に関わるので，固有値の解法までひととおり復習しておくことが望ましい．

1時間

第2回

授業形態

対面

授業内容

ベクトルと行列（１）

ベクトルの基本演算（ノルムや内積）および行列の基本演算（連立方程式や逆行列）について高校数学および線形代数1〜2の復習を行う．演習を通して，基本演算を確実に理解することを目標とする．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料または「線形代数」受講時の各自の教科書中のベクトル演算および行列の基本演算の項目を復習しておくこと．
講義時間内に演習が解けなかった場合は，事後学習として宿題とする．

1.5時間

第3回

授業形態

対面

授業内容

ベクトルと行列（２）

逆行列，行列式および固有値について，線形代数3〜4の復習を交えて学ぶ．固有値は，特に二次曲線の回転に用いることから，固有方程式の解法と固有ベクトルの導出ができるよう，必ず身につけるようにする．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料または「線形代数」受講時の各自の教科書中にある逆行列の演算および固有値に関する項目を復習しておくこと．
講義時間内に演習が解けなかった場合は，事後学習として宿題とし，翌週までに解いておくこと．

1.5時間

第4回

授業形態

対面

授業内容

ベクトルの外積

３次元空間におけるベクトルの外積（ベクトル積）について学ぶ．内積との違いを理解したうえで，外積の幾何的な性質に基づく３次元空間上の平面の性質を理解する．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．必要であれば，「線形代数」受講時の教科書で線形変換を復習しておくこと．
事後学習では，授業時間内に解けなかった演習の問題を宿題として解いておくこと．

1.5時間

第5回

授業形態

対面

授業内容

線形変換

行列による線形変換，特に２次元平面上での回転行列について学ぶ．平面上の回転は，最も基本的な線形変換であり，回転行列による図形の回転ができるようにする．また，三角関数の加法定理と線形変換の関係を学ぶ．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解くこと．

1.5時間

第6回

授業形態

対面

授業内容

アフィン変換の基礎

デカルト座標，極座標および座標の相互変換を学ぶ．線形変換を発展させたアフィン変換（２次元平面）の基礎を学ぶ．また，アフィン変換で用いられる斉次座標を理解し，アフィン変換行列を平面図形に適用できるようになる．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を事前に解いておく．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解く．

3時間

第7回

授業形態

対面

授業内容

３次元空間のアフィン変換

３次元空間における座標変換（拡大・縮小，回転，平行移動）について学び，これらをもとにしたアフィン変換を理解する．特に３次元空間における回転は，回転軸に応じて３種類の異なる行列となることから，これらを確実に使いこなせるようにする．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

2時間

第8回

授業形態

対面

授業内容

授業内試験(1)

第2〜7回目までの学習内容に関して試験を行う（60分程度）．
試験結果は成績に反映する．

事後学習・事前学習

事前学習として第7回目までの講義内容の復習を行なっておくこと．特に，7回目までの演習問題は自分の力で解けるようにしておくこと．
小テスト終了後，問題および解答を公開するので，解けなかった問題については解答をよく読んで復習すること．

2時間

第9回

授業形態

対面

授業内容

アフィン変換の応用

アフィン変換の応用（合成変換の方法）について，演習を通して理解を深める．基本的なアフィン変換を組み合わせて，図形の任意の移動や座標の変換ができるようになる．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

2時間

第10回

授業形態

対面

授業内容

固有値と幾何

２次形式による２次曲線（楕円，双曲線，放物線）の標準化について学ぶ．特に固有値と図形の幾何的な表現の関係を理解する．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

2時間

第11回

授業形態

遠隔（オンデマンド）

授業内容

曲線と曲面

さまざまな曲線や曲面の表し方について学びます．また多項式を用いて表す曲線（ベジェ曲線など）についても学びます．少し難しい内容になりますが，オンデマンド授業なので各自のペースで学習してください．

事後学習・事前学習

今回の内容を学期末試験には出題しないので，覚えこもうとせずに，どのような場面で使われているのか考えてみてください．
使ったことのある描画ツールやグラフィックソフトウェア，見たことのある映像など，ピンとくるものがあるはずです．

3時間

第12回

授業形態

対面

授業内容

射影変換

行列を用いた３次元空間から２次元平面への射影について学ぶ．特に，射影変換と呼ばれる変換とアフィン変換との相違について理解を深める．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

2時間

第13回

授業形態

対面

授業内容

投影法

また，射影変換を利用した投影法の基礎を学ぶ．３次元図形を２次元平面に投影できるようになる．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

2時間

第14回

授業形態

対面

授業内容

３次元ビューイング変換

コンピューターグラフィックスで用いられるワールド座標系からカメラ座標系への座標系の変換について学ぶ．

事後学習・事前学習

事前学習として，講義資料を事前に読んでおくこと．余裕があれば，演習問題を解いてもよい．
事後学習では，授業時間内に解けなかった問題を宿題として解いておくこと．

1.5時間

第15回

授業形態

対面

授業内容

授業内試験(2)

第2〜14回目までの学習内容に関して試験を行う（60分程度）．
試験結果は成績に反映する．
(第11回のオンデマンド講義は試験範囲に含まれない．)

事後学習

試験問題を復習すること．

1時間

成績評価の方法

以下の試験の結果を成績に反映する．
　授業内試験(1)（第8回）...評価の30％
　授業内試験(2)（第15回）...評価の50%
　レポート提出状況 ...評価の20%
到達目標に照らして，6段階のGrade(A+,A,B,C,D,F)で評価し，D以上の者に単位を認める，

追試験は実施しない．

感染症の流行状況等の事情により，成績評価を試験から課題提出に変更する可能性がある．

受講生へのフィードバック方法

授業内の課題について，講義内で講評を述べる．

教科書

ＣＧのための線形代数　郡山原峯崎著，森北出版 (ISBN 978-4-627-82689-2)

参考書

教科書か以下の参考書のうちいずれかがあればよい．

3Dグラフィックスのための数学入門　郡山原峯崎著，森北出版（ISBN 978-4-627-09651-6）

オフィスアワー

授業直後の教室，あるいは，KU-LMSにて質問を受けつけます．

受講生へのメッセージ

線形代数は行列ばかりで小難しいイメージがあり，実際のところ，学生の皆さんも苦手な人が多いかと思います．
線形代数は，CGで身近なものを表現するのにも欠かせない存在ですし，他の場面でも役にことが少なくありません．
CG数学の講義では，数式を追うばかりでなく，図形がどのように表示されるのかといった幾何学的な側面に注力したいと考えています．

実務家担当科目

実務家担当科目ではない

実務経験の内容

教職課程認定該当学科

情報デザイン学科

その他の資格・認定プログラムとの関連