複素関数 [C4][対面] ｜シラバス情報

開講年度

2025年度

開講学期

前期

科目名

複素関数

授業種別

講義

科目名（英語）

Elementary Complex Function

授業情報(授業コード・クラス・授業形態)

A0600033 複素関数 [C4][対面]

担当教員

伊藤勝利

単位数

2.0単位

曜日時限

木曜3限

キャンパス

八王子

教室

1N-335講義室

学位授与の方針

1 基礎知識の修得 20 ％
2 専門分野の知識・専門技術の修得 80 ％
3 汎用的問題解決力の修得 0 ％
4 道徳的態度と社会性の修得 0 ％

具体的な到達目標

複素解析の理論を用いて、実数の積分を求めることができる。

受講にあたっての前提条件

複素数の概念を理解している。

授業の方法とねらい

複素関数を一つのモデル、解析ツールとしてとらえ、これを利用するための基礎力を養う。

AL・ICT活用

その他

第1回

授業形態

対面

事前学習

ガイダンスの終了後、基本的な複素数の計算などを行う。
基本的な複素数の性質について予習を行っておく。

1時間

授業内容

1回目はガイダンスを行う。
①どの様に講義を進めていくか、大まかな説明を行う。
②成績の評価方法について説明を行う。

ガイダンス終了後、複素関数の講義を進めていく上で必要となる、複素数の性質について確認を行う。
また、演習を行い複素数の計算に慣れる。

事後学習・事前学習

複素数の性質（四則演算、複素平面　等）について確認を行う。
複素数の計算に慣れておくこと。

1時間

第2回

授業形態

対面

授業内容

複素関数f(z)について行う。
また、複素関数f(z)の計算に慣れる。

補足資料として、無料で利用可能な数式処理ソフトMaximaの利用法について行う。また、Maximaを利用し、複素関数f(z)を表示してみる。
複素関数f(z)は4次元（x、 y、u(x,y)、v(x,y)）で表される。
３次元空間に存在する我々には、４次元で表される複素関数f(z)を厳密に図示することができないが、近いイメージなら描くことができる。
Maximaを複素関数の理解に利用してほしい。

事後学習・事前学習

以降の授業でも複素関数f(z)が出てくるので、複素関数f(z)の計算に慣れておく。

1時間

第3回

授業形態

対面

授業内容

まずは実関数f(x)を考え、どのような時にf(x)が微分可能か確認をする。

次に複素関数f(z)の場合に議論を移す。
複素関数f(z)が微分可能であるためには、実関数f(x)の時と比べて「強い制約」を受けることを理解する。
Maximaによる図示を利用すると、「強い制約」の意味を理解しやすいと思う。

複素関数f(z)がある定義された領域内の全てで微分可能な時、複素関数f(z)は正則関数と呼ばれる。

事後学習・事前学習

複素関数における「正則」および「正則関数」の意味について理解をする。

2時間

第4回

授業形態

対面

授業内容

複素関数f(z)が正則であるかの判定法として、コーシー・リーマン方程式について行う。

事後学習・事前学習

正則とコーシー・リーマン方程式の関係について理解し、コーシー・リーマン方程式の扱いに慣れる。
コーシー・リーマン方程式を用いる際、偏微分での計算が必要になるので、偏微分の計算にも慣れる。

2時間

第5回

授業形態

対面

授業内容

1回目から４回目までの授業内容の復習および演習

事後学習・事前学習

６回目に１〜４回までの講義の範囲で中間試験を行う。

十分な計算練習を行うこと。

3時間

第6回

授業形態

対面

授業内容

中間試験を行う。

事後学習・事前学習

中間試験で理解できていなかった箇所を復習しておく。

1時間

第7回

授業形態

対面

授業内容

中間試験の返却および解説

事後学習・事前学習

学修内容の復習

1時間

第8回

授業形態

対面

授業内容

複素積分、コーシーの積分定理について行う。
複素積分では始点から終点までの「経路」によって積分結果が一般的に異なる。
しかし、正則関数を積分した場合は「経路」に依らず常に一致する。
コーシーの積分定理は正則関数の積分結果が「経路」に依らないことを示している。

事後学習・事前学習

「経路」という考えが出てくるので、実数の積分の時とは異なると意識する。

1.5時間

第9回

授業形態

対面

授業内容

複素積分における積分路の変形について行う。
コーシーの積分定理から、正則関数の場合は積分路を変形しても積分結果が変わらないことを確認していく。

事後学習・事前学習

学修内容の復習

1.5時間

第10回

授業形態

対面

授業内容

べき級数、テイラー展開について行う。
べき級数の形で表された複素関数f(z)が収束する収束半径Rについて確認を行う。

事後学習・事前学習

収束半径Rは次の講義内容である特異点とも関連してくる。

1時間

第11回

授業形態

対面

授業内容

特異点について行う。
複素平面において正則でない点を特異点と呼ぶ。
特異点には極、真性特異点、分岐点があり、それぞれの特徴について確認をする。

事後学習・事前学習

特異点に関してはMaximaを使用した3Dプロットを用いることでイメージが付きやすくなる。
特異点を持つ複素関数f(z)をMaximaでプロットしてみる。

1時間

第12回

授業形態

対面

授業内容

留数、留数定理について行う。
複素積分における留数の意味と留数の求め方を確認する。
積分計算と留数定理の関係について説明を行う。

事後学習・事前学習

学修内容の復習

2時間

第13回

授業形態

対面

授業内容

８回目から１２回目までの授業内容の復習および演習

事後学習・事前学習

１４回目に８〜１２回までの講義の範囲で期末試験を行う。

十分な計算練習を行うこと。

1.5時間

第14回

授業形態

対面

授業内容

１４回目に８〜１２回までの講義の範囲で期末試験を行う。

事後学習・事前学習

１４回目に８〜１４回までの講義の範囲で期末試験を行う。
１３回目の授業中に実施した演習で解けなかった問題を自力で解けるように復習をすること。

十分な計算練習を行うこと。

4時間

第15回

授業形態

遠隔（オンデマンド）

授業内容

オンデマンドで期末試験の解説を行う。

事後学習

期末試験で理解できていなかった箇所を復習する。

1時間

成績評価の方法

①授業中の小テストまたは課題　　　　⇨　20％　（1回あたり5%、４回実施予定）
②中間試験（１〜４回目までの範囲）　⇨　40％　（採点に0.4を掛けて40点満点に換算）
③期末試験（８〜1２回目までの範囲）　⇨　40％　（採点に0.4を掛けて40点満点に換算）
④授業中に行う演習問題を板書で　　　⇨　＋α　（1回あたり1%、最大加算5％まで）
　解答および説明を行った場合　

①、②、③、④を全て足す。ただし、100％を超えない。
A+〜Fの6段階のGradeで評価し、D以上の者に単位を認める。

受講生へのフィードバック方法

小テストや課題等で行う

教科書

「スッキリわかる複素関数論」　皆本晃弥　近代科学社　ISBN　978-4-7649-1050-8

参考書

オフィスアワー

授業の後に教場で。

受講生へのメッセージ

実務家担当科目

実務家担当科目ではない

実務経験の内容

教職課程認定該当学科

電気電子工学科

その他の資格・認定プログラムとの関連