2026年度

後期

常微分方程式特論

講義

Theory of Ordinary Differential Equations

Z1000009 常微分方程式特論 [遠隔(オ)]

長谷川 研二

2.0単位

月曜1限

新宿　遠隔

A 専攻する研究領域における高度な専門知識を身につけたもの 100%
B 科学技術を運用する能力を身につけたもの　0%
C 主体的に研究に取り組み、社会や職業についての知識や技術者や研究者として必要な倫理観を身につけたもの　0%
D 特定の専門領域における創成能力を身につけたもの　0%

工学や情報学における諸現象は、しばしば微分方程式によってモデル化される。その解を求めたり、その性質を解析したりすることは、数学的興味にとどまらず、工学および情報学の研究にとっても極めて重要である。１変数の微分方程式（常微分方程式）は、学部段階で一部の学科において学習するが、通常は２階以上については線形の場合に限られる。しかし、常微分方程式は２階以上であっても１階の連立方程式に帰着できる特徴をもつ。本科目では、まず学部で扱う微分方程式を概観した後、線形代数の応用としての１階線形連立微分方程式（線形系）の解法を学ぶ。さらに、求積法が適用できない非線形常微分方程式について、数値計算によらない手法による解析方法まで解説する。

到達目標は次のとおりである。

（１）線形代数の応用として、１階線形連立微分方程式を解くことができる。
（２）非線形微分方程式の安定性を判定することができる。
（３）非線形微分方程式における極限閉軌道の存在を調べることができる。

学部で習う微分積分、線形代数を理解している必要がある。
複素関数としての指数関数を理解していることが望ましい。
微分方程式特論の単位を取得したものは履修できません。

e-ラーニング等ICTを活用した自主学習支援

1.  ガイダンス
2.  １階微分方程式（変数分離形、同次形）
3.  １階線形微分方程式と定数係数線形微分方程式
4.  基本解とロンスキアン
5.  線形系と行列指数関数
6.  行列の対角化による行列指数関数の計算
7.  ジョルダン標準形による行列指数関数の計算
8.  固有値が複素数の場合の行列指数関数の計算
9.  斉次線形系の基本解と非斉次線形系
10. 自励系の平衡点と解軌道
11. ２次元斉次線形系の相図
12. ヤコビ行列と双曲型平衡点
13. 双曲型平衡点における漸近安定性と不安定性
14. リアプノフ関数
15. リエナールの方程式と極限閉軌道
スライドを視聴してから期日までに小テストの解答を提出してもらう。学期末にレポート課題を提示する。

本科目の成績評価は、KU-LMSによる小テストおよびレポートを用い、小テスト：レポート＝2：1の割合で行う。なお、以下に該当する場合は、小テストまたはレポートを無効とする。

（１）指定日までに出席登録および授業資料のダウンロードを行っていない場合。
（２）他の受講生の解答、または生成AI等による解答を模写した、もしくは模写させたと判断される場合。
（３）レポート課題のファイルを指定日までにダウンロードしていない場合。
（４）授業資料以外を参照したにもかかわらず、出典を明記せず、該当ページの画像を提出していない場合。

小テストおよびレポートの評価は、正誤のみならず、KU-LMSの学修履歴（出席登録、資料閲覧・ダウンロード状況、提出時刻等）も勘案して行う。なお、レポートが未提出の場合、または無効と判断された場合は、本科目の成績評価をFとする。

小テストの正解はKU-LMSで開示する。
オフィアワーの他にGoogle Meetで質問や意見に応える。日時はメール(ft10058@g.kogakuin.jp)で相談する。

牧野潔夫・長谷川研二・高木悟「理工系のための微分方程式」 培風館
訂正情報はhttp://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft10058/seigohyou_deq.pdf

「常微分方程式」クライツィグ 著 培風館
「応用微分方程式講義」野原 勉 著　東京大学出版会
「力学系入門」Hirsh,Smale,Devaney 著　共立出版

火曜日13:00〜14:00（八王子1E-313数学研究室)

オンデマンドの遠隔授業であるが、指導方法として対面より有効的であると判断して選んだ。担当者が変わらない限り、授業形態を維持していくつもりである。

実務家担当科目ではない

電気・電子工学専攻／情報学専攻